Главная > Все статьи > Четность. Часть II

Четность и нечетность. Часть II

← Начало статьи

Ближе к жизни!

Вам надоели скучные теоремы из 1-й части? Пожалуйста, вот задача из реальной жизни.

Пример 3. Каждое утро юный математик Петя едет на автобусе № 10 в школу, каждый вечер - возвращается на автобусе № 10 домой. Мы не знаем, сколько стоит проезд в автобусе в городе, где живет Петя. Известно лишь, что стоимость проезда не менялась в течение последних 5 лет и составляет целое число рублей. Петя утверждает, что в течение последних 3 месяцев потратил на проезд 1225 рублей. Возможно ли такое?

Решение. "А при чем тут статья о четности?" - спросите вы, - "И, кстати, как вообще можно ответить на этот вопрос, если неизвестна не только стоимость проезда, но и точное количество дней, когда Петя пользовался автобусом?" Уверяю вас, что соображения четности нам очень помогут!

Все просто. Петя каждый день пользовался автобусом дважды, а значит, каждый день тратил на проезд 2S рублей, где S-стоимость поездки (напомню, что она выражается целым количеством рублей). Сумма нескольких четных чисел четна, а число 1225 является нечетным. Петя вновь ошибся!

Как видите, необходимость использовать соображения четности в этой задаче была не столь очевидна, как в предыдущих. Тем не менее, с помощью этих соображений задача решается в течение 1 секунды.

Пример 4. Участники Очень Важной Конференции весь день были заняты очень важным делом: дарили друг другу памятные значки. Каждый участник конференции подарил по одному значку каждому из своих коллег. В конце дня участники решили подсчитать общее количество подаренных значков. Главный математик конференции выяснил, что их количество равно 12327. Не ошибся ли он?

Решение. Нам вновь помогут соображения четности. Неважно, сколько человек участвовало в конференции. Общее количество подаренных значков должно быть четным! Действительно, если Иванов подарил значок Петрову, то и Петров сделал подарок Иванову; если Сидоров подарил сувенир Котову, то и Котов не остался в долгу и т. д. Наблюдем "пары значков". Вывод: общее количество значков четно (как сумма некоторого количества четных чисел). Главный математик ошибся.

P. S. Юные математики смогут легко доказать, что общее количество значков равно N*(N-1), где N - число участников конференции. Полезное наблюдение: произведение двух соседних натуральных чисел, разумеется, всегда четно, т. к. из двух соседних чисел одно неминуемо будет четным.

Задание 8. Доспехи Правильного Рыцаря всегда весят на 10 кг больше, чем сам рыцарь. 99 Правильных Рыцарей, облачившись в доспехи, решили взвеситься на Больших Правильных Весах. Выяснилось, что общая масса рыцарей составляет 14327 кг. Можно ли считать эти весы "правильными"? Примечание: считайте, что масса каждого рыцаря выражается целым числом килограммов.

Задание 9. Юный математик Маша обнаружила у себя в кошельке 31 монетку: одну десятирублевую и несколько монеток по 5 рублей и по 1 рублю. Мороженое стоит 91 рубль, и Маша уверяет, что ее монеток как раз ровно столько, сколько требуется для покупки лакомства. Не ошиблась ли она?

Финансовая тема

Надеюсь, все юные математики правильно решили задание 9 и смогли доказать, что Маша ошибается. Рассмотрим еще пару задач похожего типа.

Задание 10. Необходимо заплатить 105 рублей. Разрешается использовать только монеты по 2р, 5р и 10р. Докажите, что придется использовать минимум одну пятирублевую монету.

Задание 11. Пирожок стоит 77 рублей. Петя купил пирожок, расплатившись монетами по 1р, 2р и 5р. Всего он использовал 20 монеток. Докажите, что среди них было нечетное количество "двухрублевок".

Числа, числа, числа ...

Задание 12. Все натуральные числа от 1 до 101 выписаны в ряд по возрастанию. Необходимо расставить знаки "+" и "-" между этими числами таким образом, чтобы полученное выражение было равно нулю. Можно ли этого добиться?

Задание 13. Десять чисел расставлены в ряд. Известно, что можно стереть ЛЮБЫЕ пять чисел, идущие подряд, но произведение оставшихся чисел обязательно останется четным. Какое минимальное количество четных чисел могло быть в исходном ряду?

Задание 14. На доске записано 16 идущих подряд натуральных чисел (не обязательно от 1 до 16, возможен любой другой вариант). Маша стирает первые два числа и пишет на освободившемся месте их сумму, затем стирает 3-е и 4-е числа и вновь пишет сумму. В итоге на доске остается 8 чисел. Петя складывает 1-е, 5-е и 8-е из полученных чисел и получает 184. Возможно ли такое?

Задание 15. В 1-м ящике лежит один апельсин, во 2-м ящике - два апельсина, ... в 10-м ящике - десять. Петя и Маша берут по одному апельсину и кладут в любые из ящиков (возможно, в разные). Затем берут еще по одному апельсину и вновь кладут в ящики и т. д. Их цель - добиться того, чтобы во всех ящиках было одинаковое количество плодов. Смогут ли Петя и Маша выполнить это задание? Можете считать, что в распоряжении школьников имеется о-о-очень много апельсинов и каждый ящик вмещает о-о-очень большое их количество.

Задание 16. 25 натуральных чисел записаны в клетки квадратной таблицы. Маша утверждает, что произведение всех чисел в каждой строке четно, а в каждом столбце - нечетно. Возможно ли такое? А если речь будет идти не о произведениях, а о суммах?

Задание 17. В развитие предыдущей задачи. А может ли произведение всех чисел в любом столбце быть нечетным, а произведение чисел, стоящих на одной из диагоналей таблицы четным?

Задание 18. В озере плавают рыбы двух типов: хищники и добыча. Интересно, что масса у всех рыб разная и выражается целым числом килограммов. Всего в озере 101 рыба: самая легкая весит 1 кг, самая тяжелая - 101 кг. Каждый хищник будет сыт в течение дня, если съест добычу, равную себе по массе. Больше - не сможет проглотить, меньше - останется голодным. Может ли случиться так, что к концу дня в озере останутся только хищники, но все они будут сыты?

Несколько классических задач, связанных с четностью

Рассмотренные в этой части задачи составлены не мной. Это "золотой фонд" математики.

Задание 19. Шахматный конь отправляется в путешествие по доске, стартуя с f5. Маршрут его может быть сколь угодно сложным. Сможет ли эта фигура через 17 ходов вернуться на f5?

Примечание: для решения задачи не требуется умения играть в шахматы. Нужно лишь помнить, что белые и черные поля на шахматной доске чередуются, а конь ходит "буквой Г".

Примечание к предыдущему примечанию: я дал вам небольшую подсказку, разговор о белых и черных полях - не пустой звук!

Задание 20. Юный механик Петя собрал на полу своей комнаты сложный механизм, состоящий из 17 шестеренок, сцепленных друг с другом по кругу: первая связана со второй, вторая - с третьей, ..., 17-я - с первой. Будет ли работать этот "вечный двигатель"?

Задание 21. Все костяшки домино (28 штук) выстроены в ряд в соответствии с правилами этой "игры". Начинается ряд с "доминошки" 3-7, затем идет 7-4 и т. д. На "левой" части первой "доминошки" находится, как видим, тройка. Какая цифра будет на правой части 28-й "доминошки"?

Примечание: если вы не знакомы с этой игрой, можете просто пропустить данную задачу. "Игра" настолько скучна и примитивна, что мне даже не хочется тратить время на объяснение правил.

Попробуйте решить задачи 19-21 самостоятельно, используя, в частности, соображения четности. Если вам это не удастся, переходите к следующей части статьи. Там приведены подробные решения и рассмотрено несколько "олимпиадных" задач, связанных с темой "Четность".