Звоните: +7 903 280-81-91
(Глеб Валентинович)

ЕГЭ по математике ЕГЭ по химии ОГЭ по математике ОГЭ по химии Высшая математика Химия студентам Математика Математика. Тесты
На главную Обо мне. Отзывы Контакты Условия и цены Вопрос - ответ Карта сайта Химия. Справочник Химия. Тесты


Главная > Справочник по математике > Свойства логарифмов

Свойства логарифмов


Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c a c =b (a>0,a1,b>0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.


Основное логарифмическое тождество

a log a b =b (a>0,a1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.


Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a1) (3)
log a 1=0 (a>0,a1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.


Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b log a c (a>0,a1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).


Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.


Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a1,b>0,c>0,c1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a1,b>0,b1) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e - иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).


Таблица формул, связанных с логарифмами


a log a b =b (a>0,a1)
log a a=1 (a>0,a1)
log a 1=0 (a>0,a1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a1,b>0,c>0)
log a b c = log a b log a c (a>0,a1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a1,b>0,c>0,c1)
log a b= 1 log b a (a>0,a1,b>0,b1)


Возможно, вас заинтересуют также:

Понравился сайт? Поделитесь ссылкой!
Копирайт

Воспроизведение материалов данного сайта возможно только с письменного согласия владельца сайта и при условии размещения активной ссылки на главную страницу данного ресурса.
Незаконное копирование будет преследоваться всеми возможными способами.


Copyright Repetitor2000.ru, 2000-2018.



 
Контакты
  • Телефон: 8-903-280-81-91 (Глеб Валентинович)
  • Эл. почта: teacher2002@mail.ru
  • Скайп: repetitor2000


Карта сайта



 
Счетчики

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru